A simple proof for root2 is irrational

A simple proof for root2 is irrational

If root2 is rational
then
root2=a/b, where a and b has no common factor other than 1 or a and b are prime to each other , b≠1
Squaring both side
2=(a*a) / (b*b)
Multiplying both side by b
2b=a*a/b ----------(A)
Here left side is an integer and right side never be an integer [since a*a and b are also prime to each other]
Hence, statement (A), is false it implies that root2 is irrational

Quadratic Equation 1

1.
if a,b are odd integers prove that
x^2+2ax+2ab=0 has no rational root

15=7+8
15=4+5+6
15=1+2+3+4+5

ഇങ്ങനെ 15 നെ തുടര്‍ച്ചയായ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ രൂപത്തില്‍ പരമാവധി മൂന്നു തരത്തില്‍ എഴുതുവാന്‍ സാധിക്കും എങ്കില്‍ n എന്ന എണ്ണല്‍ സംഖ്യയെ തുടര്‍ച്ചയായ എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെ തുകയുടെ രൂപത്തില്‍ പരമാവധി എത്ര തരത്തില്‍ എഴുതുവാന്‍ സാധിക്കും

One Question

ഏതൊരു പൂര്‍ണ സംഖ്യാ സമാന്തര  ശ്രേണിയുടെയും ഏതെങ്കിലും മൂന്നു പദങ്ങളുടെ വര്‍ഗങ്ങളുടെ തുക         15 , 23 ,31 ......................... എന്ന സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ ഒരു പദമാവുകയില്ല കാരണം പറയാമോ ?